与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (3) $x^2 + ax - 2x - 3a - 3$ (5) $x^4 - 81$ (7) $x^3 + x^2 - x - 1$ (9) $x^2 - 3x - y^2 + 7y - 10$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(3) $x^2 + ax - 2x - 3a - 3$

(5) $x^4 - 81$

(7) $x^3 + x^2 - x - 1$

(9) $x^2 - 3x - y^2 + 7y - 10$

2. 解き方の手順

(3)

まず、式を整理します。

$x^2 + ax - 2x - 3a - 3 = x^2 + (a-2)x - 3(a+1)$

次に、たすき掛けを考えます。

$(x + 3)(x + (a-2) - 3)$ とならないので、

$x^2 + (a-2)x - 3a - 3 = (x-3)(x+a+1)$

$= x^2 + (a+1)x -3x -3a -3 = x^2 + (a-2)x -3a -3$

(5)

これは差の平方の形なので、以下のように因数分解できます。

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$

さらに、$x^2 - 9$も差の平方の形なので、$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

よって、$x^4 - 81 = (x-3)(x+3)(x^2+9)$

(7)

式を次のように整理します。

$x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x+1) - (x+1) = (x^2-1)(x+1)$

$x^2-1$も差の平方の形なので、$x^2-1=(x-1)(x+1)$

よって、$x^3 + x^2 - x - 1 = (x-1)(x+1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$

(9)

式を$x$と$y$について整理します。

$x^2 - 3x - y^2 + 7y - 10 = (x^2 - 3x) - (y^2 - 7y) - 10$

平方完成を試みます。

$x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

$y^2 - 7y = (y - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4}$

したがって、

$x^2 - 3x - y^2 + 7y - 10 = (x - \frac{3}{2})^2 - (y - \frac{7}{2})^2 - 10 - \frac{9}{4} + \frac{49}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (y - \frac{7}{2})^2$

$- 10 + \frac{40}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (y - \frac{7}{2})^2 = (x - \frac{3}{2} - (y - \frac{7}{2}))(x - \frac{3}{2} + (y - \frac{7}{2})) = (x - y + 2)(x + y - 5)$

3. 最終的な答え

(3) $(x-3)(x+a+1)$

(5) $(x-3)(x+3)(x^2+9)$

(7) $(x-1)(x+1)^2$

(9) $(x-y+2)(x+y-5)$