与えられた式 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{-3}}$ を計算し、最も簡単な形で表す。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{-3}}$ を計算し、最も簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{27}$ を簡単にします。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

次に、$\sqrt{-3}$ を考えます。$\sqrt{-3} = \sqrt{3 \times -1} = \sqrt{3} \times \sqrt{-1} = \sqrt{3}i$

ここで、$i$ は虚数単位であり、$i = \sqrt{-1}$ です。

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{-3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}i}$

$\sqrt{3}$ を分子と分母から約分します。

$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}i} = \frac{3}{i}$

分母に $i$ があるので、分母を実数にするために、分子と分母に $i$ を掛けます。

$\frac{3}{i} = \frac{3}{i} \times \frac{i}{i} = \frac{3i}{i^2}$

$i^2 = -1$ であるため、

$\frac{3i}{i^2} = \frac{3i}{-1} = -3i$

3. 最終的な答え

$-3i$