複素数 $z$ は絶対値が1であり、$z \neq 1$ かつ $z \neq -1$ を満たす。複素数平面において、$1$, $z$, $2z^2$ が一直線上にあるような $z$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ は絶対値が1であり、$z \neq 1$ かつ $z \neq -1$ を満たす。複素数平面において、$1$, $z$, $2z^2$ が一直線上にあるような $z$ の値を求める。

2. 解き方の手順

複素数 $1$, $z$, $2z^2$ が一直線上にあるということは、それらの複素数の差の比が実数になることを意味する。つまり、$\frac{2z^2-z}{z-1}$ が実数である。

$z$ が単位円上にあるので、$z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ と表せる。ただし、$z \neq 1, -1$ より $\theta \neq 0, \pi$ である。

$\frac{2z^2-z}{z-1} = \frac{z(2z-1)}{z-1}$ が実数である条件は、

$\frac{z(2z-1)}{z-1} = \overline{\left(\frac{z(2z-1)}{z-1}\right)} = \frac{\bar{z}(2\bar{z}-1)}{\bar{z}-1}$

が成り立つことである。

ここで、$|z| = 1$ より $\bar{z} = \frac{1}{z}$ であるから、

$\frac{z(2z-1)}{z-1} = \frac{\frac{1}{z}(\frac{2}{z}-1)}{\frac{1}{z}-1} = \frac{\frac{1}{z}(\frac{2-z}{z})}{\frac{1-z}{z}} = \frac{2-z}{z(1-z)}$

したがって、

$\frac{z(2z-1)}{z-1} = \frac{2-z}{z(1-z)}$

$z^2(2z-1)(1-z) = (2-z)(z-1)$

$z^2(2z-1)(1-z) - (2-z)(z-1) = 0$

$(z-1)[z^2(2z-1)(-1)] - (2-z)(-1)] = 0$

$(z-1)[-2z^3 + z^2 + 2 - z] = 0$

$(z-1)(-2z^3 + z^2 - z + 2) = 0$

$z \neq 1$ より、$-2z^3 + z^2 - z + 2 = 0$

$2z^3 - z^2 + z - 2 = 0$

$(z - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2}i)(z - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}i)(2z-2) = 0$

$|z| = 1$なので、$z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}i$もしくは$z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2}i$

$z$の候補は、$2z^3 - z^2 + z - 2 = 0$の解であり、$|z|=1$より、ある$\theta$を用いて$z = e^{i\theta}$とおける。

$\frac{2z^2-z}{z-1}$が実数であることは、$\frac{2z^2-z}{z-1} = \frac{\bar{z}(2\bar{z}-1)}{\bar{z}-1}$を意味する。

$|z| = 1$より$\bar{z}=\frac{1}{z}$であるので、$\frac{z(2z-1)}{z-1} = \frac{\frac{1}{z}(\frac{2}{z}-1)}{\frac{1}{z}-1}=\frac{\frac{1}{z}\frac{2-z}{z}}{\frac{1-z}{z}}=\frac{2-z}{z(1-z)}$

$z^2(2z-1)(1-z)=(2-z)(z-1)$

$z^2(-2z^2+z+2z-1) = 2z-2-z^2+z$

$-2z^4+3z^3-z^2=3z-2-z^2$

$2z^4-3z^3+3z-2=0$

$z = i$: $2+3i+3i-2 = 6i \neq 0$

$z=-i$: $2-3i-3i-2 = -6i \neq 0$

$z = \pm i$ は解ではない。

また、$z \neq 1$であることに注意する。

$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき、$z = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2z^2 = 2(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$

$1$, $z$, $2z^2$ は一直線上にない。

3. 最終的な答え

$z = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$