多項式 $P(x) = 3x^3 - ax + b$ を $x-2$ で割ったときの余りが $24$ で、$x+2$ で割ったときの余りが $-16$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 3x^3 - ax + b$ を $x-2$ で割ったときの余りが $24$ で、$x+2$ で割ったときの余りが $-16$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ であり、$x+2$ で割った余りは $P(-2)$ である。したがって、

$P(2) = 24$

$P(-2) = -16$

という式が成り立つ。

$P(x) = 3x^3 - ax + b$ なので、

$P(2) = 3(2)^3 - a(2) + b = 24 - 2a + b$

$P(-2) = 3(-2)^3 - a(-2) + b = -24 + 2a + b$

したがって、以下の連立方程式を得る。

$24 - 2a + b = 24$

$-24 + 2a + b = -16$

これらの式を整理すると、

$-2a + b = 0$

$2a + b = 8$

となる。

これらの式を足し合わせると、

$2b = 8$

したがって、$b = 4$

$b = 4$ を $-2a + b = 0$ に代入すると、

$-2a + 4 = 0$

$2a = 4$

したがって、$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 4$