$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$, $b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ のとき、$ab$, $a+b$, $a^2 + b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$, $b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ のとき、$ab$, $a+b$, $a^2 + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$ab$を計算する。

$ab = \frac{2}{3+\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{4}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{4}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{4}{9-7} = \frac{4}{2} = 2$

次に、$a+b$を計算する。

$a+b = \frac{2}{3+\sqrt{7}} + \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3-\sqrt{7}) + 2(3+\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{6 - 2\sqrt{7} + 6 + 2\sqrt{7}}{9-7} = \frac{12}{2} = 6$

最後に、$a^2 + b^2$ を計算する。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ である。

$a^2 + b^2 = (6)^2 - 2(2) = 36 - 4 = 32$

3. 最終的な答え

$ab = 2$

$a+b = 6$

$a^2 + b^2 = 32$