3次方程式 $x^3 + ax^2 - 17x + b = 0$ が $-1$ と $-3$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - 17x + b = 0$ が $-1$ と $-3$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$-1$と$-3$が解であるので、それぞれの方程式に代入します。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + a(-1)^2 - 17(-1) + b = 0$

$-1 + a + 17 + b = 0$

$a + b = -16$ ...(1)

$x = -3$ を代入すると、

$(-3)^3 + a(-3)^2 - 17(-3) + b = 0$

$-27 + 9a + 51 + b = 0$

$9a + b = -24$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(9a + b) - (a + b) = -24 - (-16)$

$8a = -8$

$a = -1$

(1) に $a = -1$ を代入すると、

$-1 + b = -16$

$b = -15$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -15$