問題文は、規則Ⅱに従って箱に数を書き込み、上から $k$ 段目までの箱に書かれた数の和を $S_k$ と定義しています。 (1) では $S_4$ の値を求め、また $S_n$ を $\sum$ を用いて表す式を完成させる必要があります。

1. 問題の内容

問題文は、規則Ⅱに従って箱に数を書き込み、上から $k$ 段目までの箱に書かれた数の和を $S_k$ と定義しています。

(1) では $S_4$ の値を求め、また $S_n$ を $\sum$ を用いて表す式を完成させる必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $S_4$ を計算します。

規則Ⅱに従って、

1段目には1が1つ

2段目には2が4つ

3段目には3が9つ

4段目には4が16つ

書かれています。したがって、

$S_4 = 1 + (2 \times 4) + (3 \times 9) + (4 \times 16) = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$

(2) $S_n$ を $\sum$ で表します。

k段目には $k$ が $k^2$ 個書かれているので、$k$ 段目の数の和は $k \times k^2 = k^3$ となります。

したがって、$S_n$ は $k=1$ から $k=n$ までの $k^3$ の和で表されます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$

3. 最終的な答え

(1) $S_4 = 100$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$