与えられた式を簡単にしてください。 式は次のとおりです。 $$ \frac{-2x-1}{\sqrt{a^2+4a+4} + \sqrt{a^2-4a+4}} $$ ただし、$x < -1$ のときです。

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にしてください。

式は次のとおりです。

$$$$

\frac{-2x-1}{\sqrt{a^2+4a+4} + \sqrt{a^2-4a+4}}

$$$$

ただし、$x < -1$ のときです。

2. 解き方の手順

まず、分母の根号の中を因数分解します。

$a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

したがって、与えられた式は

$$$$

\frac{-2x-1}{\sqrt{(a+2)^2} + \sqrt{(a-2)^2}}

$$$$

となります。

ここで、$\sqrt{x^2} = |x|$なので、

$$$$

\frac{-2x-1}{|a+2| + |a-2|}

$$$$

となります。

場合分けを考えます。

(1) $a < -2$ のとき、 $|a+2| = -(a+2)$ かつ $|a-2| = -(a-2)$ なので、

$|a+2| + |a-2| = -(a+2) - (a-2) = -a-2-a+2 = -2a$

$$$$

\frac{-2x-1}{-2a} = \frac{2x+1}{2a}

$$$$

(2) $-2 \le a < 2$ のとき、 $|a+2| = a+2$ かつ $|a-2| = -(a-2)$ なので、

$|a+2| + |a-2| = a+2 - (a-2) = a+2-a+2 = 4$

$$$$

\frac{-2x-1}{4}

$$$$

(3) $a \ge 2$ のとき、 $|a+2| = a+2$ かつ $|a-2| = a-2$ なので、

$|a+2| + |a-2| = a+2 + a-2 = 2a$

$$$$

\frac{-2x-1}{2a}

$$$$

3. 最終的な答え

場合分けに応じて以下のようになります。

$a < -2$ のとき: $\frac{2x+1}{2a}$

$-2 \le a < 2$ のとき: $\frac{-2x-1}{4}$

$a \ge 2$ のとき: $\frac{-2x-1}{2a}$