与えられた式 $\sqrt{a^2 + 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 4a + 4}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{a^2 + 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 4a + 4}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解します。

$a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

したがって、与えられた式は

$\sqrt{(a+2)^2} + \sqrt{(a-2)^2}$

となります。

ここで、$\sqrt{x^2} = |x|$ であることを利用すると、

$|a+2| + |a-2|$

となります。

この式は、$a$ の値によって場合分けが必要です。

(i) $a \ge 2$ のとき、$a+2 > 0$ かつ $a-2 \ge 0$ なので、$|a+2| = a+2$ かつ $|a-2| = a-2$ となり、

$|a+2| + |a-2| = (a+2) + (a-2) = 2a$

(ii) $-2 \le a < 2$ のとき、$a+2 \ge 0$ かつ $a-2 < 0$ なので、$|a+2| = a+2$ かつ $|a-2| = -(a-2) = 2-a$ となり、

$|a+2| + |a-2| = (a+2) + (2-a) = 4$

(iii) $a < -2$ のとき、$a+2 < 0$ かつ $a-2 < 0$ なので、$|a+2| = -(a+2) = -a-2$ かつ $|a-2| = -(a-2) = 2-a$ となり、

$|a+2| + |a-2| = (-a-2) + (2-a) = -2a$

したがって、

$a \ge 2$ のとき $2a$

$-2 \le a < 2$ のとき $4$

$a < -2$ のとき $-2a$

となります。

場合分けをせずに答えることは難しいですが、最も一般的に表現すると、

$|a+2| + |a-2|$

と表すことができます。問題文に条件がないため、場合分けせずに、絶対値の式で答えることにします。

3. 最終的な答え

$|a+2| + |a-2|$