$\mathbb{R}^3$ のベクトル空間において、線形独立であり、かつ $\mathbb{R}^3$ の空間を張らないベクトルの組を一つ作成します。ヒントとして、2つのベクトルで構成されるベクトルの組を作ることが示唆されています。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ のベクトル空間において、線形独立であり、かつ $\mathbb{R}^3$ の空間を張らないベクトルの組を一つ作成します。ヒントとして、2つのベクトルで構成されるベクトルの組を作ることが示唆されています。

2. 解き方の手順

$\mathbb{R}^3$ のベクトル空間を張るためには、3つの線形独立なベクトルが必要です。問題文では2つのベクトルで $\mathbb{R}^3$ を張らないように組を作ることが要求されています。線形独立な2つのベクトルを選べば、それらが張る空間は $\mathbb{R}^3$ の部分空間、つまり平面となります。

例えば、次のような2つのベクトルを考えます。

$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

これらのベクトルが線形独立であることは明らかです。なぜなら、$c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 = \vec{0}$ を満たすのは $c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ の場合に限られるからです。

しかし、これらのベクトルが張る空間は、xy平面であり、$\mathbb{R}^3$ 全体ではありません。例えば、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は、$\vec{v}_1$ と $\vec{v}_2$ の線形結合で表すことができません。

3. 最終的な答え

線形独立であり、$\mathbb{R}^3$ の空間を張らないベクトルの組の一例は、

$\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

です。