$x = \frac{2}{\sqrt{6} - 2}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{6} + 2}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{6} - 2}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{6} + 2}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x$ の有理化:

$x = \frac{2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{2(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{2(\sqrt{6} + 2)}{6 - 4} = \frac{2(\sqrt{6} + 2)}{2} = \sqrt{6} + 2$

$y$ の有理化:

$y = \frac{2}{\sqrt{6} + 2} = \frac{2(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \frac{2(\sqrt{6} - 2)}{6 - 4} = \frac{2(\sqrt{6} - 2)}{2} = \sqrt{6} - 2$

(1) $x+y$ の計算:

$x + y = (\sqrt{6} + 2) + (\sqrt{6} - 2) = 2\sqrt{6}$

(2) $xy$ の計算:

$xy = (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

(3) $x^2 + y^2$ の計算:

$x^2 + y^2$ は $(x+y)^2$ と $xy$ を用いて計算できます。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y = 2\sqrt{6}$ より、 $(x+y)^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$

$xy = 2$ より、 $2xy = 4$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 24 - 4 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{6}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2 + y^2 = 20$