問題は、$x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ という等式が任意の $x$ について成り立つように、$a, b, c$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ という等式が任意の $x$ について成り立つように、$a, b, c$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

これらを元の式に代入すると、

$x^3 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c$

右辺を整理すると、

$x^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

$x^3 = x^3 + (-3+a)x^2 + (3-2a+b)x + (-1+a-b+c)$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $-3 + a = 0$

$x$ の係数: $3 - 2a + b = 0$

定数項: $-1 + a - b + c = 0$

これらの連立方程式を解きます。

まず、$x^2$ の係数から $a = 3$ が得られます。

次に、$x$ の係数に $a = 3$ を代入すると、

$3 - 2(3) + b = 0$

$3 - 6 + b = 0$

$-3 + b = 0$

$b = 3$

最後に、定数項に $a = 3$ と $b = 3$ を代入すると、

$-1 + 3 - 3 + c = 0$

$-1 + c = 0$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 3, c = 1$