ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ に関する連立方程式 $\vec{x} + \vec{y} = 2\vec{a}$ $\vec{x} - \vec{y} = 4\vec{b}$ を解き、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ に関する連立方程式

$\vec{x} + \vec{y} = 2\vec{a}$

$\vec{x} - \vec{y} = 4\vec{b}$

を解き、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

この連立方程式を解くには、加法と減法を用いることができます。

まず、2つの式を足し合わせることで、$\vec{y}$ を消去します。

$(\vec{x} + \vec{y}) + (\vec{x} - \vec{y}) = 2\vec{a} + 4\vec{b}$

$2\vec{x} = 2\vec{a} + 4\vec{b}$

両辺を2で割ることで、$\vec{x}$ を得ます。

$\vec{x} = \vec{a} + 2\vec{b}$

次に、$\vec{x} = \vec{a} + 2\vec{b}$ を最初の式 $\vec{x} + \vec{y} = 2\vec{a}$ に代入して、$\vec{y}$ を求めます。

$(\vec{a} + 2\vec{b}) + \vec{y} = 2\vec{a}$

$\vec{y} = 2\vec{a} - (\vec{a} + 2\vec{b})$

$\vec{y} = 2\vec{a} - \vec{a} - 2\vec{b}$

$\vec{y} = \vec{a} - 2\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = \vec{a} + 2\vec{b}$

$\vec{y} = \vec{a} - 2\vec{b}$