点 $z$ が原点 $O$ を中心とする半径1の円上を動くとき、以下の (1) と (2) で定義される点 $w$ がどのような図形を描くかを求める問題です。 (1) $w = \frac{1+i}{z}$ (2) $w = \frac{6z-1}{2z-1}$

1. 問題の内容

点 $z$ が原点 $O$ を中心とする半径1の円上を動くとき、以下の (1) と (2) で定義される点 $w$ がどのような図形を描くかを求める問題です。

(1) $w = \frac{1+i}{z}$

(2) $w = \frac{6z-1}{2z-1}$

2. 解き方の手順

(1) の場合

$z$ は原点を中心とする半径1の円上を動くので、$|z| = 1$ です。

$w = \frac{1+i}{z}$ を $z$ について解くと、

$z = \frac{1+i}{w}$

両辺の絶対値を取ると、

$|z| = \left| \frac{1+i}{w} \right|$

$|z| = \frac{|1+i|}{|w|}$

$1 = \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{|w|}$

$1 = \frac{\sqrt{2}}{|w|}$

$|w| = \sqrt{2}$

したがって、$w$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円を描きます。

(2) の場合

$w = \frac{6z-1}{2z-1}$ を $z$ について解くと、

$w(2z-1) = 6z-1$

$2wz - w = 6z - 1$

$2wz - 6z = w - 1$

$(2w-6)z = w - 1$

$z = \frac{w-1}{2w-6}$

$|z| = 1$ なので、

$\left| \frac{w-1}{2w-6} \right| = 1$

$|w-1| = |2w-6|$

$|w-1| = 2|w-3|$

$w = x + iy$ とおくと、

$|x+iy-1| = 2|x+iy-3|$

$|(x-1) + iy| = 2|(x-3) + iy|$

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x-1)^2 + y^2 = 4((x-3)^2 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$

$3x^2 - 22x + 3y^2 + 35 = 0$

$x^2 - \frac{22}{3}x + y^2 + \frac{35}{3} = 0$

$\left(x - \frac{11}{3}\right)^2 - \left(\frac{11}{3}\right)^2 + y^2 + \frac{35}{3} = 0$

$\left(x - \frac{11}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{121}{9} - \frac{105}{9} = \frac{16}{9}$

$\left(x - \frac{11}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2$

したがって、$w$ は中心 $\frac{11}{3}$ 、半径 $\frac{4}{3}$ の円を描きます。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円

(2) 中心 $\frac{11}{3}$ 、半径 $\frac{4}{3}$ の円