問題30について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $|a| = 4$, $|b| = 2$, $|a-b| = 2\sqrt{3}$のとき、$a \cdot b$の値を求めよ。 (2) $|3a - b|$の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題30について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $|a| = 4$, $|b| = 2$, $|a-b| = 2\sqrt{3}$のとき、$a \cdot b$の値を求めよ。

(2) $|3a - b|$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|a-b|^2$を計算し、$a \cdot b$の値を求めます。

まず、$|a-b|^2$を展開します。

$|a-b|^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot b = |a|^2 - 2a \cdot b + |b|^2$

与えられた条件より、$|a| = 4$, $|b| = 2$, $|a-b| = 2\sqrt{3}$なので、

$(2\sqrt{3})^2 = 4^2 - 2a \cdot b + 2^2$

$12 = 16 - 2a \cdot b + 4$

$12 = 20 - 2a \cdot b$

$2a \cdot b = 20 - 12$

$2a \cdot b = 8$

$a \cdot b = 4$

(2) $|3a-b|^2$を計算し、$|3a - b|$の値を求めます。

$|3a-b|^2 = (3a-b) \cdot (3a-b) = 9a \cdot a - 6a \cdot b + b \cdot b = 9|a|^2 - 6a \cdot b + |b|^2$

与えられた条件より、$|a| = 4$, $|b| = 2$であり、(1)で$a \cdot b = 4$を求めたので、

$|3a-b|^2 = 9 \times 4^2 - 6 \times 4 + 2^2 = 9 \times 16 - 24 + 4 = 144 - 24 + 4 = 124$

したがって、

$|3a-b| = \sqrt{124} = \sqrt{4 \times 31} = 2\sqrt{31}$

3. 最終的な答え

(1) $a \cdot b = 4$

(2) $|3a-b| = 2\sqrt{31}$