(1) $2(x+2)^3 + a(x+2)^2 + b(x+2) + c = 2x^3 - x^2 - 3x + 4$ が $x$ に関する恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。 (2) $\frac{-7x^2 + 11x - 16}{x(x-1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2}$ が $x$ に関する恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) $2(x+2)^3 + a(x+2)^2 + b(x+2) + c = 2x^3 - x^2 - 3x + 4$ が $x$ に関する恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

(2) $\frac{-7x^2 + 11x - 16}{x(x-1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2}$ が $x$ に関する恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開する。

$2(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + a(x^2 + 4x + 4) + b(x+2) + c = 2x^3 - x^2 - 3x + 4$

$2x^3 + 12x^2 + 24x + 16 + ax^2 + 4ax + 4a + bx + 2b + c = 2x^3 - x^2 - 3x + 4$

$2x^3 + (12+a)x^2 + (24+4a+b)x + (16+4a+2b+c) = 2x^3 - x^2 - 3x + 4$

係数を比較すると、

$12+a = -1$

$24+4a+b = -3$

$16+4a+2b+c = 4$

$a = -13$

$24 + 4(-13) + b = -3$

$24 - 52 + b = -3$

$-28 + b = -3$

$b = 25$

$16 + 4(-13) + 2(25) + c = 4$

$16 - 52 + 50 + c = 4$

$14 + c = 4$

$c = -10$

(2)

$\frac{-7x^2 + 11x - 16}{x(x-1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2}$

両辺に $x(x-1)^2$ をかけると

$-7x^2 + 11x - 16 = a(x-1)^2 + bx(x-1) + cx$

$-7x^2 + 11x - 16 = a(x^2 - 2x + 1) + b(x^2 - x) + cx$

$-7x^2 + 11x - 16 = ax^2 - 2ax + a + bx^2 - bx + cx$

$-7x^2 + 11x - 16 = (a+b)x^2 + (-2a-b+c)x + a$

係数を比較すると、

$a+b = -7$

$-2a-b+c = 11$

$a = -16$

$-16 + b = -7$

$b = 9$

$-2(-16) - 9 + c = 11$

$32 - 9 + c = 11$

$23 + c = 11$

$c = -12$

3. 最終的な答え

(1) $a = -13$, $b = 25$, $c = -10$

(2) $a = -16$, $b = 9$, $c = -12$