ベクトル $\vec{a} = (2, -3)$ と $\vec{b} = (-4, 1)$ が与えられたとき、以下のベクトルを成分で表す。 (1) $\vec{a} + \vec{b}$ (2) $\vec{a} - \vec{b}$ (3) $5\vec{a}$ (4) $3\vec{a} + 4\vec{b}$ (5) $4\vec{a} - 7\vec{b}$ (6) $-2\vec{a} - 3\vec{b}$ (7) $\frac{1}{4}(6\vec{a} - 5\vec{b})$ (8) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b})$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -3)$ と $\vec{b} = (-4, 1)$ が与えられたとき、以下のベクトルを成分で表す。

(1) $\vec{a} + \vec{b}$

(2) $\vec{a} - \vec{b}$

(3) $5\vec{a}$

(4) $3\vec{a} + 4\vec{b}$

(5) $4\vec{a} - 7\vec{b}$

(6) $-2\vec{a} - 3\vec{b}$

(7) $\frac{1}{4}(6\vec{a} - 5\vec{b})$

(8) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b})$

2. 解き方の手順

ベクトルの成分表示での和と差、スカラー倍は、各成分ごとに計算します。

(1) $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-4), -3 + 1) = (-2, -2)$

(2) $\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-4), -3 - 1) = (6, -4)$

(3) $5\vec{a} = (5 \cdot 2, 5 \cdot (-3)) = (10, -15)$

(4) $3\vec{a} + 4\vec{b} = (3 \cdot 2 + 4 \cdot (-4), 3 \cdot (-3) + 4 \cdot 1) = (6 - 16, -9 + 4) = (-10, -5)$

(5) $4\vec{a} - 7\vec{b} = (4 \cdot 2 - 7 \cdot (-4), 4 \cdot (-3) - 7 \cdot 1) = (8 + 28, -12 - 7) = (36, -19)$

(6) $-2\vec{a} - 3\vec{b} = (-2 \cdot 2 - 3 \cdot (-4), -2 \cdot (-3) - 3 \cdot 1) = (-4 + 12, 6 - 3) = (8, 3)$

(7) $\frac{1}{4}(6\vec{a} - 5\vec{b}) = \frac{1}{4}(6 \cdot 2 - 5 \cdot (-4), 6 \cdot (-3) - 5 \cdot 1) = \frac{1}{4}(12 + 20, -18 - 5) = \frac{1}{4}(32, -23) = (8, -\frac{23}{4})$

(8) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b}) = 6\vec{a} - 9\vec{b} - 4\vec{a} + 8\vec{b} = 2\vec{a} - \vec{b} = (2 \cdot 2 - (-4), 2 \cdot (-3) - 1) = (4 + 4, -6 - 1) = (8, -7)$

3. 最終的な答え

(1) $(-2, -2)$

(2) $(6, -4)$

(3) $(10, -15)$

(4) $(-10, -5)$

(5) $(36, -19)$

(6) $(8, 3)$

(7) $(8, -\frac{23}{4})$

(8) $(8, -7)$