次の数列の和 $S$ を求めます。 (1) 初項 $20$, 公差 $-3$, 項数 $15$ の等差数列の和 $S$ (2) 等差数列 $12, 15, 18, \dots, 99$ の和 $S$ (3) 初項 $3$, 公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S$ (4) 初項 $5$, 公比 $1$, 項数 $8$ の等比数列の和 $S$ (5) 初項 $1$, 公比 $2$, 末項 $64$ の等比数列の和 $S$

## 問題4

1. **問題の内容**

次の数列の和 $S$ を求めます。

(1) 初項 $20$, 公差 $-3$, 項数 $15$ の等差数列の和 $S$

(2) 等差数列 $12, 15, 18, \dots, 99$ の和 $S$

(3) 初項 $3$, 公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S$

(4) 初項 $5$, 公比 $1$, 項数 $8$ の等比数列の和 $S$

(5) 初項 $1$, 公比 $2$, 末項 $64$ の等比数列の和 $S$

2. **解き方の手順**

(1) 等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を使います。

ここで、$a = 20$, $d = -3$, $n = 15$ です。

$S_{15} = \frac{15}{2}(2(20) + (15-1)(-3)) = \frac{15}{2}(40 - 42) = \frac{15}{2}(-2) = -15$

(2) まず、項数を求めます。等差数列の一般項 $a_n = a + (n-1)d$ を使います。

ここで、$a = 12$, $d = 3$, $a_n = 99$ です。

$99 = 12 + (n-1)3$

$87 = (n-1)3$

$29 = n-1$

$n = 30$

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ を使います。ここで、$a = 12$, $l = 99$, $n = 30$ です。

$S_{30} = \frac{30}{2}(12 + 99) = 15(111) = 1665$

(3) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を使います。

ここで、$a = 3$, $r = 2$ です。

$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$

(4) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を使いますが、$r = 1$ なので、$S_n = na$ となります。

ここで、$a = 5$, $n = 8$ です。

$S_8 = 8(5) = 40$

(5) 末項が与えられているので、項数を求めます。等比数列の一般項 $a_n = ar^{n-1}$ を使います。

ここで、$a = 1$, $r = 2$, $a_n = 64$ です。

$64 = 1 \cdot 2^{n-1}$

$2^6 = 2^{n-1}$

$6 = n-1$

$n = 7$

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を使います。ここで、$a = 1$, $r = 2$, $n = 7$ です。

$S_7 = \frac{1(2^7 - 1)}{2 - 1} = 2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$

3. **最終的な答え**

(1) $-15$

(2) $1665$

(3) $3(2^n - 1)$

(4) $40$

(5) $127$

## 問題5

1. **問題の内容**

1から200までの自然数のうち、15の倍数でない数の和 $S$ を求める問題です。

2. **解き方の手順**

まず、1から200までの自然数の中に、15の倍数がいくつあるかを求めます。

$200 \div 15 = 13.333\dots$ なので、15の倍数は13個あります。（①）

次に、15の倍数の和を求めます。

$15, 30, 45, \dots, 195$ は等差数列なので、和は $\frac{n}{2}(a+l) = \frac{13}{2}(15+195) = \frac{13}{2}(210) = 13 \cdot 105 = 1365$ です。（②）

次に、1から200までの自然数の和を求めます。

$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{200(200+1)}{2} = \frac{200 \cdot 201}{2} = 100 \cdot 201 = 20100$ です。（③）

最後に、求める和は、1から200までの自然数の和から、15の倍数の和を引いたものです。

$S = 20100 - 1365 = 18735$ （④）

3. **最終的な答え**

① 13

② 1365

③ 20100

④ 18735

## 問題6

1. **問題の内容**

初項が $150$, 公差が $-4$ である等差数列 $\{a_n\}$ があります。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。またその和 $S$ を求めよ。

(3) 初項から第何項までの和が、初めて負の数になるか。

2. **解き方の手順**

(1) 等差数列の一般項 $a_n = a + (n-1)d$ を使います。

ここで、$a = 150$, $d = -4$ です。

$a_n = 150 + (n-1)(-4) = 150 - 4n + 4 = 154 - 4n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求めます。

$154 - 4n < 0$

$154 < 4n$

$n > \frac{154}{4} = 38.5$

したがって、第39項が初めて負の数になります。

(2) 和が最大になるのは、$a_n \ge 0$ である項までの和です。

$a_n = 154 - 4n \ge 0$

$154 \ge 4n$

$n \le \frac{154}{4} = 38.5$

したがって、第38項までの和が最大になります。

$S_{38} = \frac{38}{2}(2(150) + (38-1)(-4)) = 19(300 - 148) = 19(152) = 2888$

(3) $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(150) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(300 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(304 - 4n) = n(152 - 2n)$

$S_n < 0$ となる $n$ を求めます。

$n(152 - 2n) < 0$

$152 - 2n < 0$ （$n > 0$ より）

$152 < 2n$

$n > 76$

したがって、第77項までの和が初めて負の数になります。

3. **最終的な答え**

(1) 第39項

(2) 第38項, 和は $2888$

(3) 第77項