2次関数 $y = x^2 - 2mx + 2m + 4$ について、以下の問いに答えます。 (1) グラフがx軸と共有点を持つような $m$ の値の範囲を求めます。 (2) グラフの頂点の座標を求めます。 (3) グラフがx軸から切り取る線分の長さが4であるとき、$m$ の値と共有点のx座標を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + 2m + 4$ について、以下の問いに答えます。

(1) グラフがx軸と共有点を持つような $m$ の値の範囲を求めます。

(2) グラフの頂点の座標を求めます。

(3) グラフがx軸から切り取る線分の長さが4であるとき、$m$ の値と共有点のx座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフがx軸と共有点を持つ条件は、2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m + 4 = 0$ が実数解を持つことです。

判別式 $D \ge 0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(2m+4) = 4m^2 - 8m - 16$

$D \ge 0$ より $4m^2 - 8m - 16 \ge 0$

$m^2 - 2m - 4 \ge 0$

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$m \le 1-\sqrt{5}, m \ge 1+\sqrt{5}$

(2) グラフの式を平方完成します。

$y = x^2 - 2mx + 2m + 4 = (x - m)^2 - m^2 + 2m + 4$

よって、頂点の座標は $(m, -m^2 + 2m + 4)$

(3) グラフがx軸から切り取る線分の長さが4であるとき、2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$|\alpha - \beta| = 4$ です。

解と係数の関係より $\alpha + \beta = 2m, \alpha \beta = 2m + 4$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (2m)^2 - 4(2m+4) = 4m^2 - 8m - 16$

$|\alpha - \beta| = 4$ より $(\alpha - \beta)^2 = 16$

$4m^2 - 8m - 16 = 16$

$4m^2 - 8m - 32 = 0$

$m^2 - 2m - 8 = 0$

$(m-4)(m+2) = 0$

$m = 4, -2$

(1)の結果から、$m=4$が条件を満たします。$m=-2$は$m \le 1-\sqrt{5}, m \ge 1+\sqrt{5}$を満たしません。

$m=4$のとき、$x^2 - 8x + 8 + 4 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

$x = 2, 6$

3. 最終的な答え

(1) $m \le 1-\sqrt{5}, m \ge 1+\sqrt{5}$

(2) $(m, -m^2 + 2m + 4)$

(3) $m = 4$、共有点のx座標は $x=2, 6$