与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。$y = x + \frac{1}{x}$ とおき、与えられた4次方程式を $y$ の2次方程式 $y^2 + ay + b = 0$ に変形し、$a$ と $b$ の値を求めます。その後、$y$ の値を求め、最終的に $x$ の実数解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。$y = x + \frac{1}{x}$ とおき、与えられた4次方程式を $y$ の2次方程式 $y^2 + ay + b = 0$ に変形し、$a$ と $b$ の値を求めます。その後、$y$ の値を求め、最終的に $x$ の実数解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4次方程式を $x^2$ で割ります（$x=0$ は解ではないので割ることができます）。

$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $2x + \frac{2}{x}$ の項をまとめます。

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

ここで、$y = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ となります。したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$ です。これを代入すると、

$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

したがって、$a = 2$, $b = -3$ です。

次に、$y$ についての方程式を解きます。

$y^2 + 2y - 3 = 0$

$(y+3)(y-1)=0$

$y = -3, 1$

$y = x + \frac{1}{x}$ であったので、$x + \frac{1}{x} = -3$ および $x + \frac{1}{x} = 1$ を解きます。

$x + \frac{1}{x} = -3$ の場合、両辺に $x$ をかけると、$x^2 + 1 = -3x$ となり、$x^2 + 3x + 1 = 0$ となります。この2次方程式の解は、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x + \frac{1}{x} = 1$ の場合、両辺に $x$ をかけると、$x^2 + 1 = x$ となり、$x^2 - x + 1 = 0$ となります。この2次方程式の解は、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

実数解を求める問題なので、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ が答えです。

3. 最終的な答え

a = 2, b = -3

x = $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$, $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$