(1) 放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線が、点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸に接する。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 + x$ を平行移動したもので、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 3x$ 上にあり、かつ原点を通らないような放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線が、点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸に接する。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 + x$ を平行移動したもので、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 3x$ 上にあり、かつ原点を通らないような放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - b = 3(x - a)^2 + 2a(x - a) + a$

$y = 3(x^2 - 2ax + a^2) + 2ax - 2a^2 + a + b$

$y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2ax - 2a^2 + a + b$

$y = 3x^2 - 4ax + a^2 + a + b$

この放物線が点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸に接するので、

$y = 3(x + 2)^2 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12$

係数を比較して、

$-4a = 12$ より $a = -3$

$a^2 + a + b = 12$

$(-3)^2 + (-3) + b = 12$

$9 - 3 + b = 12$

$6 + b = 12$

$b = 6$

(2)

放物線 $y = x^2 + x$ を平行移動したものは、

$y = (x - p)^2 + (x - p) + q$ と表せる。ただし、移動後の頂点の座標は $(p, q)$。

これを展開すると、

$y = x^2 - 2px + p^2 + x - p + q$

$y = x^2 + (1 - 2p)x + p^2 - p + q$

一方、頂点が直線 $y = 3x$ 上にあるので、$q = 3p$

放物線は $(2, 4)$ を通るので、

$4 = 2^2 + (1 - 2p)2 + p^2 - p + q$

$4 = 4 + 2 - 4p + p^2 - p + 3p$

$0 = 2 - 2p + p^2$

$p^2 - 2p + 2 = 0$

$(p - 1)^2 + 1 = 0$

これは実数解を持たない。

放物線 $y = x^2 + x$ を平行移動したものは、 $y = (x - p)^2 + (x - p) + 3p$とは限らない。

$y = x^2 + x$ を平行移動したものは $y = x^2 + x + px + q$ の形で書ける。

$y = x^2 + (1 + p)x + q$

$y = (x + \frac{1+p}{2})^2 - (\frac{1+p}{2})^2 + q$

頂点は $(-\frac{1+p}{2}, -(\frac{1+p}{2})^2 + q)$

頂点が $y = 3x$ 上にあるので、

$-(\frac{1+p}{2})^2 + q = 3(-\frac{1+p}{2})$

$q = (\frac{1+p}{2})^2 - \frac{3(1+p)}{2} = \frac{1 + 2p + p^2}{4} - \frac{6 + 6p}{4} = \frac{p^2 - 4p - 5}{4}$

$(2, 4)$ を通るので、

$4 = 2^2 + (1 + p)2 + q = 4 + 2 + 2p + \frac{p^2 - 4p - 5}{4}$

$4 = 6 + 2p + \frac{p^2 - 4p - 5}{4}$

$-2 = 2p + \frac{p^2 - 4p - 5}{4}$

$-8 = 8p + p^2 - 4p - 5$

$p^2 + 4p + 3 = 0$

$(p + 1)(p + 3) = 0$

$p = -1$ または $p = -3$

$p = -1$ のとき、$q = \frac{1 - 4 + 5}{4} = 0$ となり、原点を通るので不適。

$p = -3$ のとき、$q = \frac{9 + 12 - 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y = x^2 - 2x + 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, b = 6$

(2) $y = x^2 - 2x + 4$