問題26は、与えられた2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$が垂直になるような$x$の値を求める問題です。2つの小問題があります。問題27は、ベクトル$\vec{a}=(-3, 1)$に垂直な単位ベクトル$\vec{b}$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題26は、与えられた2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$が垂直になるような$x$の値を求める問題です。2つの小問題があります。問題27は、ベクトル$\vec{a}=(-3, 1)$に垂直な単位ベクトル$\vec{b}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題26 (1)

ベクトル$\vec{a}=(2, 3)$と$\vec{b}=(x, 6)$が垂直である条件は、内積が0になることです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$2x + 3(6) = 0$

$2x + 18 = 0$

$2x = -18$

$x = -9$

問題26 (2)

ベクトル$\vec{a}=(x, -2x)$と$\vec{b}=(3x-4, x)$が垂直である条件は、内積が0になることです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$x(3x-4) + (-2x)(x) = 0$

$3x^2 - 4x - 2x^2 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

問題27

ベクトル$\vec{a}=(-3, 1)$に垂直なベクトル$\vec{b}$を$\vec{b}=(x, y)$とします。$\vec{a}$と$\vec{b}$が垂直である条件は内積が0になることです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$-3x + y = 0$

$y = 3x$

したがって、$\vec{b}=(x, 3x)$となります。$\vec{b}$が単位ベクトルであるためには、その大きさが1でなければなりません。

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + (3x)^2} = 1$

$\sqrt{x^2 + 9x^2} = 1$

$\sqrt{10x^2} = 1$

$10x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{10}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

したがって、$x = \frac{\sqrt{10}}{10}$のとき、$y = \frac{3\sqrt{10}}{10}$であり、$x = -\frac{\sqrt{10}}{10}$のとき、$y = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$となります。

$\vec{b} = (\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10})$または$\vec{b} = (-\frac{\sqrt{10}}{10}, -\frac{3\sqrt{10}}{10})$

3. 最終的な答え

問題26 (1): $x = -9$

問題26 (2): $x = 0, 4$

問題27: $\vec{b} = (\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10}), (-\frac{\sqrt{10}}{10}, -\frac{3\sqrt{10}}{10})$