与えられた不等式 $|2x-1| \leq x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x-1| \leq x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、場合分けを行います。

(i) $2x-1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq \frac{1}{2}$ のとき

$|2x-1| = 2x-1$ となるので、不等式は

$2x-1 \leq x+1$

となります。これを解くと、

$2x-x \leq 1+1$

$x \leq 2$

となります。$x \geq \frac{1}{2}$ という条件と合わせて、

$\frac{1}{2} \leq x \leq 2$

が得られます。

(ii) $2x-1 < 0$ のとき、つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき

$|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$ となるので、不等式は

$-2x+1 \leq x+1$

となります。これを解くと、

$-2x-x \leq 1-1$

$-3x \leq 0$

$x \geq 0$

となります。$x < \frac{1}{2}$ という条件と合わせて、

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

が得られます。

(i)と(ii)で得られた解を合わせると、

$0 \leq x \leq 2$

となります。

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq 2$