$a$ を正の定数とする。 (1) $|x-3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するとき、$a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $0 < x < 1$ を満たすどのような $x$ についても $|x-a| < 2$ が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $0 < x < 1$ を満たすある $x$ について $|x-a| < 2$ が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。

(1) $|x-3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $0 < x < 1$ を満たすどのような $x$ についても $|x-a| < 2$ が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $0 < x < 1$ を満たすある $x$ について $|x-a| < 2$ が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| < a$ は $-a < x-3 < a$ と同値である。

これより、$3-a < x < 3+a$ となる。

この範囲にある整数 $x$ が11個となるためには、範囲の幅がだいたい11程度である必要がある。$3-a$ と $3+a$ の中点は $x=3$ である。

$x=3$ を中心に、小さい方へ5個、大きい方へ5個の整数が存在する必要がある。つまり、$x = 3-5= -2, 3+5 = 8$ が含まれなければならない。

整数 $x$ が11個であるためには、$x = -3, x = 9$ は含まれてはならない。

$-3 < 3-a \le -2$ かつ $8 \le 3+a < 9$

$6 < a \le 5$ かつ $5 \le a < 6$

これを満たす $a$ は存在しない。

$3-a < -2$ かつ $8 < 3+a$ より、$a > 5$

$3-a \ge -3$ かつ $3+a \le 9$ より、$a \le 6$

よって、$5 < a \le 6$を満たす$x$がちょうど11個存在する。

$a$ が整数である場合を考えると、$x$ は $3-a < x < 3+a$ の範囲を動く。

整数$x$が11個あるとき、$3-a = k - 0.5$ （$k$は整数）の形であると考える。

$x$の値は$3$を中心とするので、$3-5 = -2$ および $3+5 = 8$ でなければならない。

したがって、$x = -2, -1, 0, ..., 7, 8$となる。

$x$が$n$個存在するとき、$2a - 1 = n$なので、$x$が11個存在するとき、$2a = 12$なので、$a = 6$

このとき、$3-6 < x < 3+6$ より、$-3 < x < 9$ である。$x$は-2から8までの整数を含む。

したがって、$a=6$

(2) $0 < x < 1$ を満たすどのような $x$ についても $|x-a| < 2$ が満たされるとき、$-2 < x-a < 2$ より、$a-2 < x < a+2$

したがって、$a-2 < 0$ かつ $1 < a+2$ であればよい。

$a < 2$ かつ $-1 < a$ より、$-1 < a < 2$

(3) $0 < x < 1$ を満たすある $x$ について $|x-a| < 2$ が満たされるとき、$a-2 < x < a+2$

$x$ は $0 < x < 1$ を満たすので、$x > 0$ かつ $x < 1$ となる。

したがって、$a-2 < 1$ かつ $0 < a+2$

$a < 3$ かつ $-2 < a$

$-2 < a < 3$

3. 最終的な答え

(1) $a=6$

(2) $-1 < a < 2$

(3) $-2 < a < 3$