与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ac + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

したがって、

$a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc = (ab^2 - 2abc + ac^2) + (bc^2 - 2abc + ba^2) + (ca^2 - 2abc + cb^2) + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 - 6abc + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

ここで、因数分解を試みる。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解すると、

$(a+b)(b+c)(c+a)$

となる。