$2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

$2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2-1=(x+1)(x-1)$に着目します。

そして、$(x+1)^4$と$(x-1)^4$を展開します。

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

これらの式を元の式に代入します。

$2(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + 2(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) + 5(x^2-1)^2$

$2x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 2 + 2x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 8x + 2 + 5(x^4 - 2x^2 + 1)$

$4x^4 + 24x^2 + 4 + 5x^4 - 10x^2 + 5$

$9x^4 + 14x^2 + 9$

ここで、$A=x^2$とおくと、$9A^2 + 14A + 9$となります。

これを因数分解することを考えます。

たすき掛けを試みても因数分解できないことがわかります。

しかし、 $9x^4 + 14x^2 + 9$を平方完成することを考えます。

$9x^4 + 14x^2 + 9 = (3x^2)^2 + 2(3x^2)(?) + (?)^2 + 残り$

$= (3x^2 + 3)^2 - 18x^2 + 14x^2$

$= (3x^2 + 3)^2 - 4x^2$

$= (3x^2 + 3)^2 - (2x)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形をしているので、因数分解できます。

$(3x^2 + 3 + 2x)(3x^2 + 3 - 2x)$

$(3x^2 + 2x + 3)(3x^2 - 2x + 3)$

3. 最終的な答え

$(3x^2 + 2x + 3)(3x^2 - 2x + 3)$