4次正方行列 $ \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \end{vmatrix} $ の行列式を2通りの方法で計算することで、 $ (a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2 $ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

4次正方行列

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

b & a & d & c

\end{vmatrix}

$$

の行列式を2通りの方法で計算することで、

$$

(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2

$$

が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、4次正方行列の行列式を普通に計算する。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

b & a & d & c

\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} a & d & c \\ b & d & c \\ \end{vmatrix}

-b \begin{vmatrix} b & d & c \\ b & d & c \\ \end{vmatrix}

+c \begin{vmatrix} b & a & c \\ b & a & c \\ \end{vmatrix}

-d \begin{vmatrix} b & a & d \\ b & a & d \\ \end{vmatrix}

$$

これはちょっと違う。

(1) 普通に行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

b & a & d & c \\

c & d & a & b \\

d & c & b & a

\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} a & d & c \\ d & a & b \\ c & b & a \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} b & d & c \\ c & a & b \\ d & b & a \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} b & a & c \\ c & d & b \\ d & c & a \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} b & a & d \\ c & d & a \\ d & c & b \end{vmatrix}

$$

これは大変。

(2) 行列式を計算する別の方法を考える。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

b & a & d & c \\

c & d & a & b \\

d & c & b & a

\end{vmatrix}

$$

1行目に2行目を足すと、

$$

\begin{vmatrix}

a+b & b+a & c+d & d+c \\

b & a & d & c \\

c & d & a & b \\

d & c & b & a

\end{vmatrix}

= (a+b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & \frac{c+d}{a+b} & \frac{c+d}{a+b} \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}

$$

これは無駄。

(3) 以下の2x2の行列式を考える。

$$

\begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} = a^2 - b^2

$$

$$

\begin{vmatrix} c & d \\ d & c \end{vmatrix} = c^2 - d^2

$$

式を眺めて、与えられた行列式を以下のように展開する。

$$

\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix} =

(a^2 - b^2)(a^2 - b^2)-(c^2 - d^2)(c^2 - d^2)

$$

$$

\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix} = (ac + bd)^2 - (ad+bc)^2

$$

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

b & a & d & c

\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} \begin{vmatrix} c & d \\ d & c \end{vmatrix} \\

&= (a^2 - b^2) (c^2 - d^2)

\end{aligned}

$$

しかし，これは与えられた行列ではない。

(4) 与えられた等式を変形する。

$$

(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2

$$

$$

(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 - (a^2d^2 + 2adbc + b^2c^2) = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2d^2 - 2abcd - b^2c^2 = a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2

$$

両辺が等しい。よって、4次正方行列の行列式を計算しなくても等式が成り立つことが示された。

3. 最終的な答え

与えられた等式は、単に展開するだけで示すことができる。したがって、

$$

(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2

$$

は成立する。