3次方程式 $x^3 + ax^2 - 17x + b = 0$ は、$x = -1$ と $x = -3$ を解に持つ。 (1) 定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) この方程式の他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - 17x + b = 0$ は、$x = -1$ と $x = -3$ を解に持つ。

(1) 定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) この方程式の他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x = -1$ を方程式に代入すると、

$(-1)^3 + a(-1)^2 - 17(-1) + b = 0$

$-1 + a + 17 + b = 0$

$a + b = -16$ ...(1)

$x = -3$ を方程式に代入すると、

$(-3)^3 + a(-3)^2 - 17(-3) + b = 0$

$-27 + 9a + 51 + b = 0$

$9a + b = -24$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(9a + b) - (a + b) = -24 - (-16)$

$8a = -8$

$a = -1$

(1)に $a = -1$ を代入すると、

$-1 + b = -16$

$b = -15$

したがって、$a = -1$, $b = -15$

(2)

$a, b$ の値を代入すると、方程式は

$x^3 - x^2 - 17x - 15 = 0$

この方程式は $x = -1$ と $x = -3$ を解に持つので、

$(x+1)(x+3)$ で割り切れる。

$(x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3$

$x^3 - x^2 - 17x - 15$ を $x^2 + 4x + 3$ で割ると、

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x} & -5 \\

\cline{2-5}

x^2+4x+3 & x^3 & -x^2 & -17x & -15 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +4x^2 & +3x \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & -5x^2 & -20x & -15 \\

\multicolumn{2}{r}{} & -5x^2 & -20x & -15 \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

$x^3 - x^2 - 17x - 15 = (x^2 + 4x + 3)(x - 5) = (x+1)(x+3)(x-5) = 0$

よって、他の解は $x = 5$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1, b = -15$

(2) 他の解は $x = 5$