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不等式 $4-x \le 3x \le 2x+a$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

代数学不等式整数解範囲代数
2025/5/25

1. 問題の内容

不等式 4−x≤3x≤2x+a4-x \le 3x \le 2x+a を満たす整数 xx がちょうど3個存在するような定数 aa の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。
4−x≤3x4-x \le 3x より 4≤4x4 \le 4x となり、x≥1x \ge 1 が得られます。
次に、3x≤2x+a3x \le 2x+a より x≤ax \le a が得られます。
したがって、不等式 4−x≤3x≤2x+a4-x \le 3x \le 2x+a を満たす xx の範囲は 1≤x≤a1 \le x \le a となります。
この不等式を満たす整数 xx がちょうど3個であるとき、それらは1, 2, 3です。
よって、3≤a<43 \le a < 4 である必要があります。
1≤x≤a1 \le x \le a を満たす整数が3個なので、その整数は1, 2, 3です。
つまり、3は不等式を満たす必要があり、4は不等式を満たさない必要があります。
よって、3≤a<43 \le a < 4 である必要があります。

3. 最終的な答え

3≤a<43 \le a < 4

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