以下の3つの問題に答える。ただし、$a$は定数とする。 (1) 不等式 $ax + 3 > 2x$ を解け。 (2) $a$ を正の定数とする。$|x - 3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するような $a$ の範囲を求めよ。 (3) $0 < x < 1$ ...①、$|x - a| < 2$ ...② とする。①を満たすどのような $x$ についても②が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。また、①を満たすある $x$ について②が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

以下の3つの問題に答える。ただし、$a$は定数とする。

(1) 不等式 $ax + 3 > 2x$ を解け。

(2) $a$ を正の定数とする。$|x - 3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するような $a$ の範囲を求めよ。

(3) $0 < x < 1$ ...①、$|x - a| < 2$ ...② とする。①を満たすどのような $x$ についても②が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。また、①を満たすある $x$ について②が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $ax + 3 > 2x$ を解く。

$ax - 2x > -3$

$(a - 2)x > -3$

場合分けをする。

(i) $a - 2 = 0$ のとき ($a = 2$ のとき)、

$0 \cdot x > -3$

これは常に成り立つので、解はすべての実数。

(ii) $a - 2 > 0$ のとき ($a > 2$ のとき)、

$x > \frac{-3}{a - 2}$

(iii) $a - 2 < 0$ のとき ($a < 2$ のとき)、

$x < \frac{-3}{a - 2}$

(2) $|x - 3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するような $a$ の範囲を求める。

$-a < x - 3 < a$

$3 - a < x < 3 + a$

この範囲に含まれる整数が11個なので、

$(3 + a) - (3 - a) = 2a$ 付近に11個存在することになる。

$2a$ が整数の個数と関連するので、

$11 < 2a < 12$ とすると、$x$の範囲に含まれる整数は11個になる。

よって、$5.5 < a < 6$

(3) $0 < x < 1$ ...①、$|x - a| < 2$ ...② とする。

②を変形すると、 $-2 < x - a < 2$ より、 $a - 2 < x < a + 2$

(i) ①を満たすどのような $x$ についても②が満たされるとき

$0 < x < 1$ が $a - 2 < x < a + 2$ に含まれる必要がある。

$a-2 \le 0$ かつ $a+2 \ge 1$となれば良い。

したがって、$a \le 2$ かつ $a \ge -1$ なので、 $-1 \le a \le 2$

(ii) ①を満たすある $x$ について②が満たされるとき

$0 < x < 1$ と $a - 2 < x < a + 2$ が共通部分を持つ必要がある。

$a + 2 > 0$ かつ $a - 2 < 1$ であればよい。

$a > -2$ かつ $a < 3$

したがって、$-2 < a < 3$

3. 最終的な答え

(1)

$a = 2$ のとき、解はすべての実数。

$a > 2$ のとき、$x > \frac{-3}{a - 2}$

$a < 2$ のとき、$x < \frac{-3}{a - 2}$

(2) $5.5 < a < 6$

(3)

①を満たすどのような $x$ についても②が満たされるとき、$-1 \le a \le 2$

①を満たすある $x$ について②が満たされるとき、$-2 < a < 3$