与えられた式 $2x^2 - 5xy - 3y^2 - x + 10y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 5xy - 3y^2 - x + 10y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての二次式として整理します。

$2x^2 + (-5y - 1)x + (-3y^2 + 10y - 3)$

次に、定数項 $-3y^2 + 10y - 3$ を因数分解します。

$-3y^2 + 10y - 3 = -(3y^2 - 10y + 3) = -(3y - 1)(y - 3) = (1 - 3y)(y - 3)$

したがって、元の式は

$2x^2 + (-5y - 1)x + (1 - 3y)(y - 3)$

と表せます。

この式を因数分解することを考えます。

$(2x + ay + b)(x + cy + d) = 2x^2 + (a+2c)xy + ac y^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$ac = -3, bd = -3, a+2c = -5, 2d+b = -1, ad+bc = 10$

$a = -1, c = 3, b = 3, d = -1$を試すと

$ac = -3, bd = -3, a+2c = -1 + 6 = 5$ となるので

$a = -3, c = 1, b = 1, d = -3$を試すと

$ac = -3, bd = -3, a+2c = -3 + 2 = -1, 2d+b = -6+1 = -5, ad+bc = 9 + 1 = 10$

よって、

$(2x - y + 3)(x - 3y - 1) = 2x^2 - 6xy - 2x - xy + 3y^2 + y + 3x - 9y - 3$

$= 2x^2 - 7xy + x + 3y^2 - 8y - 3$

となりません。

$2x^2 + (-5y - 1)x - (3y - 1)(y - 3)$なので

$(2x + ay + b)(x + cy + d) = 2x^2 + (a+2c)xy + ac y^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$2x^2 - 5xy - 3y^2 - x + 10y - 3 = (2x + y + a)(x - 3y + b)$の形を仮定すると

$(2x+y+a)(x-3y+b) = 2x^2 - 6xy + 2bx + xy - 3y^2 + by + ax - 3ay + ab = 2x^2 -5xy - 3y^2 + (2b+a)x + (b-3a)y + ab$

$2b+a = -1, b-3a = 10, ab = -3$

$2b+a = -1$より$a = -1-2b$なので$b-3(-1-2b) = 10$

$b+3+6b = 10$

$7b = 7$

$b = 1$

$a = -1-2 = -3$

よって$(2x+y-3)(x-3y+1)$

$(2x+y-3)(x-3y+1) = 2x^2 -6xy + 2x + xy - 3y^2 + y - 3x + 9y - 3 = 2x^2 - 5xy - 3y^2 -x + 10y - 3$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 3)(x - 3y + 1)$