3次方程式 $x^3 + 2x^2 - x - 3 = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき、以下の値を求める。 (1) $\alpha + \beta + \gamma$ (2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ (3) $\alpha\beta\gamma$ (4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - x - 3 = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $\alpha + \beta + \gamma$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$

(3) $\alpha\beta\gamma$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

2. 解き方の手順

3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とすると、解と係数の関係より、以下の関係が成り立つ。

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

与えられた方程式は $x^3 + 2x^2 - x - 3 = 0$ なので、$a=1$, $b=2$, $c=-1$, $d=-3$ である。

(1) $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{2}{1} = -2$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-1}{1} = -1$

(3) $\alpha\beta\gamma = -\frac{-3}{1} = 3$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ の値を求める。

$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta + \gamma = -2$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -1$

(3) $\alpha\beta\gamma = 3$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$