2つの対数方程式を解く問題です。 (d) $\log_2(x-1) = \log_4(x-2) + 1$ (e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

1. 問題の内容

2つの対数方程式を解く問題です。

(d) $\log_2(x-1) = \log_4(x-2) + 1$

(e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

2. 解き方の手順

(d) $\log_2(x-1) = \log_4(x-2) + 1$

まず、底を2に変換します。$\log_4(x-2) = \frac{\log_2(x-2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x-2)}{2}$。

したがって、方程式は$\log_2(x-1) = \frac{\log_2(x-2)}{2} + 1$となります。

両辺に2をかけると、$2\log_2(x-1) = \log_2(x-2) + 2$。

$\log_2(x-1)^2 = \log_2(x-2) + \log_2 4$。

$\log_2(x-1)^2 = \log_2(4(x-2))$。

$(x-1)^2 = 4(x-2)$。

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 8$。

$x^2 - 6x + 9 = 0$。

$(x-3)^2 = 0$。

$x = 3$。

$x=3$を元の式に代入して確認すると、$\log_2(3-1) = \log_2 2 = 1$。$\log_4(3-2) + 1 = \log_4 1 + 1 = 0 + 1 = 1$。したがって、$x=3$は解です。

(e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

$(\log_2 x)^2 = 3 \log_2 x$。

$(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x = 0$。

$\log_2 x (\log_2 x - 3) = 0$。

したがって、$\log_2 x = 0$または$\log_2 x = 3$。

$\log_2 x = 0$のとき、$x = 2^0 = 1$。

$\log_2 x = 3$のとき、$x = 2^3 = 8$。

$x=1$を元の式に代入して確認すると、$(\log_2 1)^2 = 0^2 = 0$。$\log_2 1^3 = \log_2 1 = 0$。したがって、$x=1$は解です。

$x=8$を元の式に代入して確認すると、$(\log_2 8)^2 = 3^2 = 9$。$\log_2 8^3 = \log_2 512 = \log_2 2^9 = 9$。したがって、$x=8$は解です。

3. 最終的な答え

(d) $x = 3$

(e) $x = 1, 8$