与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + y + 3z = 4 \\ 3x + ay + z = 0 \end{cases} $ が解なしとなるためのパラメータ $a$ の必要十分条件を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$$

\begin{cases}

x + 2y + 3z = 1 \\

2x + y + 3z = 4 \\

3x + ay + z = 0

\end{cases}

$$

が解なしとなるためのパラメータ $a$ の必要十分条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を行列で表現する。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 1 & 3 \\

3 & a & 1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \\ 4 \\ 0

\end{pmatrix}

$$

次に、拡大係数行列を作成し、行基本変形を行う。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

2 & 1 & 3 & 4 \\

3 & a & 1 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の2倍を引く:

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & 2 \\

3 & a & 1 & 0

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目の3倍を引く:

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & 2 \\

0 & a-6 & -8 & -3

\end{pmatrix}

$$

3行目に2行目の$(a-6)/(-3)$倍を加える:

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & 2 \\

0 & 0 & -8 - 3\frac{a-6}{3} & -3 + 2\frac{a-6}{(-3)}

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & 2 \\

0 & 0 & -8 - (a-6) & -3 - \frac{2(a-6)}{3}

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & 2 \\

0 & 0 & -2 - a & \frac{-9-2a+12}{3}

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & 2 \\

0 & 0 & -2 - a & \frac{3-2a}{3}

\end{pmatrix}

$$

解なしとなる条件は、$-2-a = 0$ かつ $\frac{3-2a}{3} \neq 0$ である。

$-2 - a = 0$ より、 $a = -2$。

$a = -2$ のとき、 $\frac{3 - 2(-2)}{3} = \frac{3+4}{3} = \frac{7}{3} \neq 0$。

したがって、$a = -2$ が必要十分条件である。

3. 最終的な答え

$a = -2$

選択肢2が正解。