以下の6つの問題について、それぞれ $x$ に関する方程式または不等式を解き、$x$ の値を求めます。 (1) $2^{-3x} = \frac{1}{16}$ (2) $5^{2x+1} > 125$ (3) $0.3^{2x-1} < 0.09$ (4) $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$ (5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$ (6) $\log_3(x-1) < 2$

1. 問題の内容

以下の6つの問題について、それぞれ $x$ に関する方程式または不等式を解き、$x$ の値を求めます。

(1) $2^{-3x} = \frac{1}{16}$

(2) $5^{2x+1} > 125$

(3) $0.3^{2x-1} < 0.09$

(4) $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$

(5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$

(6) $\log_3(x-1) < 2$

2. 解き方の手順

(1) $2^{-3x} = \frac{1}{16}$ を解きます。

$2^{-3x} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$

よって $-3x = -4$ より $x = \frac{4}{3}$

(2) $5^{2x+1} > 125$ を解きます。

$5^{2x+1} > 5^3$

よって $2x+1 > 3$ より $2x > 2$ であり、$x > 1$

(3) $0.3^{2x-1} < 0.09$ を解きます。

$0.3^{2x-1} < 0.3^2$

底が1より小さいので、不等号の向きが反転します。

$2x-1 > 2$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

(4) $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$ を解きます。

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 3 < 0$

$t = 2^x$ とおくと、

$t^2 + 2t - 3 < 0$

$(t+3)(t-1) < 0$

$-3 < t < 1$

$t = 2^x > 0$ なので、$0 < t < 1$

$0 < 2^x < 1$

$2^x < 2^0$

$x < 0$

(5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$ を解きます。

$\log_2(x-1) + 2 = 0$

$\log_2(x-1) = -2$

$x-1 = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

真数条件 $x-1 > 0$ より $x > 1$ を満たしています。

(6) $\log_3(x-1) < 2$ を解きます。

$\log_3(x-1) < \log_3 3^2 = \log_3 9$

$x-1 < 9$

$x < 10$

真数条件 $x-1 > 0$ より $x > 1$

よって、$1 < x < 10$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{4}{3}$

(2) $x > 1$

(3) $x > \frac{3}{2}$

(4) $x < 0$

(5) $x = \frac{5}{4}$

(6) $1 < x < 10$