二つの問題があります。 (5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$ という方程式を解く。 (6) $\log_3(x-1) < 2$ という不等式を解く。

1. 問題の内容

二つの問題があります。

(5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$ という方程式を解く。

(6) $\log_3(x-1) < 2$ という不等式を解く。

2. 解き方の手順

(5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$

まず、$\log$ の性質 $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ を利用して、左辺をまとめます。

$\log_2(4(x-1)) = 0$

次に、$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ という関係を利用して、$\log$ を外します。

$4(x-1) = 2^0$

$4(x-1) = 1$

$4x - 4 = 1$

$4x = 5$

$x = \frac{5}{4}$

ただし、$\log$ の真数は正である必要があるので、$x-1>0$ を満たす必要があります。

$\frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} > 0$ なので、$x = \frac{5}{4}$ は条件を満たします。

(6) $\log_3(x-1) < 2$

まず、$\log$ の真数は正である必要があるので、$x-1 > 0$ を満たす必要があります。すなわち、$x > 1$。

次に、$\log_a b < c \Leftrightarrow b < a^c$ という関係を利用して、$\log$ を外します。

$x-1 < 3^2$

$x-1 < 9$

$x < 10$

$x > 1$ と $x < 10$ の共通範囲を求めると、$1 < x < 10$

3. 最終的な答え

(5) $x = \frac{5}{4}$

(6) $1 < x < 10$