(1) 与えられた分数式を部分分数分解し、その係数$a, b, c, d$を求める問題。 (2) $x, y, z$ が $x-2y+z = 4$ と $2x+y-3z = -7$ を満たすとき、$ax^2+2by^2+3cz^2=18$ が常に成り立つように $a, b, c$ の値を求める問題。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

(1) 与えられた分数式を部分分数分解し、その係数$a, b, c, d$を求める問題。

(2) $x, y, z$ が $x-2y+z = 4$ と $2x+y-3z = -7$ を満たすとき、$ax^2+2by^2+3cz^2=18$ が常に成り立つように $a, b, c$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式は

$$\frac{2x^3-7x^2+11x-16}{x(x-2)^3} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-2} + \frac{c}{(x-2)^2} + \frac{d}{(x-2)^3}$$

両辺に $x(x-2)^3$ をかけて整理します。

$$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = a(x-2)^3 + bx(x-2)^2 + cx(x-2) + dx$$

$x=0$ を代入すると

$$-16 = a(-2)^3 = -8a$$

$$a = 2$$

$x=2$ を代入すると

$$16 - 28 + 22 - 16 = 2d$$

$$-6 = 2d$$

$$d = -3$$

$a$と$d$の値を代入して式を整理すると

$$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2(x^3-6x^2+12x-8) + bx(x^2-4x+4) + cx(x-2) - 3x$$

$$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2x^3-12x^2+24x-16 + bx^3-4bx^2+4bx + cx^2-2cx - 3x$$

$$0 = (b)x^3 + (-12-4b+c)x^2 + (24+4b-2c-3)x + 0$$

係数比較により

$b=0$

$-12+c = 0$

$c = 12$

$21-2c = 0$ となるはずだが、$c=12$を代入すると $21-24=-3 \ne 0$ なので誤り。

正しい式は

$$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = a(x-2)^3 + bx(x-2)^2 + cx(x-2) + dx$$

$$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^3 - 4x^2 + 4x) + c(x^2 - 2x) + dx$$

$$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = (a+b)x^3 + (-6a - 4b + c)x^2 + (12a + 4b - 2c + d)x - 8a$$

係数比較をすると

$a+b=2$

$-6a-4b+c=-7$

$12a+4b-2c+d=11$

$-8a=-16$

より、$a=2$ , $b=0$, $c=5$ , $d=-3$

(2)

$x-2y+z=4$ より $x = 2y-z+4$

$2x+y-3z=-7$ に代入して $2(2y-z+4)+y-3z = -7$

$4y-2z+8+y-3z = -7$

$5y-5z = -15$

$y-z=-3$ より $y = z-3$

$x = 2(z-3)-z+4 = 2z-6-z+4 = z-2$

$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$

$a(z-2)^2 + 2b(z-3)^2 + 3cz^2 = 18$

$a(z^2-4z+4) + 2b(z^2-6z+9) + 3cz^2 = 18$

$(a+2b+3c)z^2 + (-4a-12b)z + (4a+18b) = 18$

これが任意の $z$ に対して成り立つので

$a+2b+3c=0$

$-4a-12b = 0$

$4a+18b=18$

$-4a-12b=0$ より $a=-3b$

$4(-3b)+18b=18$

$-12b+18b=18$

$6b=18$

$b=3$

$a=-3(3) = -9$

$a+2b+3c=0$ より

$-9+2(3)+3c=0$

$-9+6+3c=0$

$-3+3c=0$

$3c=3$

$c=1$

3. 最終的な答え

(1) $a=2, b=0, c=5, d=-3$

(2) $a=-9, b=3, c=1$