この問題は、3次元ベクトル空間 $R^3$ に関する2つの課題を与えています。 (1) 線形従属であり、$R^3$ を張るベクトルの組を1つ作成する。 (2) 線形従属であり、$R^3$ を張らないベクトルの組を1つ作成する。

1. 問題の内容

この問題は、3次元ベクトル空間 $R^3$ に関する2つの課題を与えています。

(1) 線形従属であり、$R^3$ を張るベクトルの組を1つ作成する。

(2) 線形従属であり、$R^3$ を張らないベクトルの組を1つ作成する。

2. 解き方の手順

(1) 線形従属であり、$R^3$ を張るベクトルの組の作成

$R^3$ を張るには、少なくとも3つのベクトルが必要です。線形従属であるためには、少なくとも1つのベクトルが他のベクトルの線形結合で表される必要があります。

例えば、基底ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、これらのベクトルの線形結合を加えることで、線形従属でありながら $R^3$ を張るベクトル組を作成できます。

(2) 線形従属であり、$R^3$ を張らないベクトルの組の作成

$R^3$ を張らないためには、3つのベクトルが同じ平面上にある必要があります。つまり、3つのベクトルのうち少なくとも1つが他の2つのベクトルの線形結合で表せる必要があります。さらに、線形従属である必要があるので、3つのベクトル全てが互いに線形結合で表せる必要があります。

例えば、2つの線形独立なベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と、これらの線形結合 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ を用いることで、この条件を満たすベクトル組を作成できます。

3. 最終的な答え

(1) 線形従属であり、$R^3$ を張るベクトルの組の一例：

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) 線形従属であり、$R^3$ を張らないベクトルの組の一例：

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$