与えられた数式 $\frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ を簡約化し、分母に無理数が含まれない形に変形する。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ を簡約化し、分母に無理数が含まれない形に変形する。

2. 解き方の手順

与えられた分数の分母を有理化するために、分母の共役な数である $3+\sqrt{5}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

分子を展開します。

$4\sqrt{2}(3+\sqrt{5}) = 12\sqrt{2} + 4\sqrt{10}$

分母を展開します。 $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$ は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{12\sqrt{2} + 4\sqrt{10}}{4}$

分子と分母を4で割ります。

$\frac{12\sqrt{2} + 4\sqrt{10}}{4} = \frac{12\sqrt{2}}{4} + \frac{4\sqrt{10}}{4} = 3\sqrt{2} + \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$