与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x + (-6y + 6)$

次に、この二次式が $(x + a)(x + b)$ の形に因数分解できると仮定します。ここで、$a$ と $b$ は $y$ の関数です。

$x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + (2y - 5)x + (-6y + 6)$

したがって、次の2つの方程式が得られます。

$a + b = 2y - 5$

$ab = -6y + 6$

$b = 2y - 5 - a$ を2番目の式に代入すると、

$a(2y - 5 - a) = -6y + 6$

$2ay - 5a - a^2 = -6y + 6$

$a^2 - 2ay + 5a - 6y + 6 = 0$

$a^2 + (5 - 2y)a + (6 - 6y) = 0$

$a$ について二次方程式を解くのは難しいので、元の式を別の方法で因数分解を試みます。

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = (x + ay + b)(x + cy + d)$ のように因数分解できると仮定します。

$x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

これを展開すると、

$x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + (ad+bc)y + bd = x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$

したがって、次の等式が成り立ちます。

$a + c = 2$

$b + d = -5$

$ad + bc = -6$

$bd = 6$

$b = -2$ と $d = -3$ を試します。

このとき、$b+d = -5$ であり、$bd=6$ となります。

$ad + bc = -3a - 2c = -6$

$a + c = 2$ より $c = 2-a$

$-3a - 2(2-a) = -6$

$-3a - 4 + 2a = -6$

$-a - 4 = -6$

$-a = -2$

$a = 2$

$c = 0$

したがって、

$(x + 2y - 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2xy - 6y - 2x + 6 = x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 2)(x - 3)$