与えられた分数の足し算を計算します。 問題は、$\frac{x-1}{x^2-2x-3} + \frac{x+5}{x^2-6x-7}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた分数の足し算を計算します。

問題は、$\frac{x-1}{x^2-2x-3} + \frac{x+5}{x^2-6x-7}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^2 - 6x - 7 = (x-7)(x+1)$

与式は以下のように書き換えられます。

$\frac{x-1}{(x-3)(x+1)} + \frac{x+5}{(x-7)(x+1)}$

次に、通分するために、それぞれの分数の分子と分母に適切な式を掛けます。

$\frac{(x-1)(x-7)}{(x-3)(x+1)(x-7)} + \frac{(x+5)(x-3)}{(x-7)(x+1)(x-3)}$

これで分母が $(x-3)(x+1)(x-7)$ で共通になったので、分子を足し合わせます。

$\frac{(x-1)(x-7) + (x+5)(x-3)}{(x-3)(x+1)(x-7)}$

分子を展開して整理します。

$\frac{(x^2 - 8x + 7) + (x^2 + 2x - 15)}{(x-3)(x+1)(x-7)}$

$\frac{2x^2 - 6x - 8}{(x-3)(x+1)(x-7)}$

分子を2でくくり、さらに因数分解します。

$\frac{2(x^2 - 3x - 4)}{(x-3)(x+1)(x-7)}$

$\frac{2(x-4)(x+1)}{(x-3)(x+1)(x-7)}$

$(x+1)$ を約分します。

$\frac{2(x-4)}{(x-3)(x-7)}$

展開して整理すると、

$\frac{2x-8}{x^2-10x+21}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x-8}{x^2-10x+21}$

あるいは

$\frac{2(x-4)}{(x-3)(x-7)}$