$x = \sqrt{6-4\sqrt{2}}$ が与えられているとき、以下の問いに答える。 (1) $x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{6-4\sqrt{2}}$ が与えられているとき、以下の問いに答える。

(1) $x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = \sqrt{6-4\sqrt{2}}$ を簡単にする。根号の中を $(A - B)^2$ の形にすることを考える。$6-4\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{8} = 4 + 2 - 2\sqrt{4 \cdot 2} = (\sqrt{4})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{4}\sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2$ である。

したがって、$x = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$ となる。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから、$x = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$ となる。

したがって、$x$ の整数部分 $a$ は 0 である。

小数部分 $b$ は $x - a = x - 0 = x = 2 - \sqrt{2}$ である。

(2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求める。$b = 2 - \sqrt{2}$ であるから、

$\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

したがって、$b + \frac{1}{b} = (2 - \sqrt{2}) + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$

あるいは、

$b + \frac{1}{b} = (2 - \sqrt{2}) + \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = (2 - \sqrt{2}) + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b + \frac{1}{b} = (2 - \sqrt{2}) + \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = (2 - \sqrt{2}) + \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2})}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $a = 0, b = 2 - \sqrt{2}$

(2) $b + \frac{1}{b} = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$