ある品物の売価が1個100円のとき、1日に300個売れる。売価を1円値上げするごとに、売り上げが2個ずつ減る。1日の売り上げ金額が最大になるように売価を設定する場合、売価をいくらにすればよいか、また、そのときの売り上げ金額はいくらか。消費税は考えない。

1. 問題の内容

ある品物の売価が1個100円のとき、1日に300個売れる。売価を1円値上げするごとに、売り上げが2個ずつ減る。1日の売り上げ金額が最大になるように売価を設定する場合、売価をいくらにすればよいか、また、そのときの売り上げ金額はいくらか。消費税は考えない。

2. 解き方の手順

まず、売価を $x$ 円としたときの売り上げ個数を求める。

売価を $x$ 円とすると、値上げ額は $(x - 100)$ 円である。

したがって、売り上げ個数は $300 - 2(x - 100)$ 個となる。

売り上げ金額 $S$ は、売価 $\times$ 売り上げ個数で求められるので、

$S = x(300 - 2(x - 100))$ となる。

これを整理すると、

$S = x(300 - 2x + 200) = x(500 - 2x) = 500x - 2x^2$ となる。

売り上げ金額 $S$ を最大にする $x$ を求めるために、$S$ を $x$ で微分する。

$\frac{dS}{dx} = 500 - 4x$

$\frac{dS}{dx} = 0$ となる $x$ を求めると、$500 - 4x = 0$ より $4x = 500$ なので、 $x = 125$ となる。

$S$ の2階微分は $\frac{d^2S}{dx^2} = -4 < 0$ なので、$x=125$ で $S$ は最大値を取る。

したがって、売価を125円にすると、売り上げ金額が最大となる。

このときの売り上げ個数は、 $300 - 2(125 - 100) = 300 - 2(25) = 300 - 50 = 250$ 個である。

したがって、売り上げ金額は、 $125 \times 250 = 31250$ 円となる。

3. 最終的な答え

売価は125円にするとよい。

そのときの売り上げ金額は31250円である。