与えられた連立方程式を解き、$x$ベクトルと$y$ベクトルを$a$ベクトルと$b$ベクトルで表す問題です。 連立方程式は以下の通りです。 $4\vec{x} - 3\vec{y} = \vec{a}$ $-2\vec{x} + 5\vec{y} = \vec{b}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解き、$x$ベクトルと$y$ベクトルを$a$ベクトルと$b$ベクトルで表す問題です。

連立方程式は以下の通りです。

$4\vec{x} - 3\vec{y} = \vec{a}$

$-2\vec{x} + 5\vec{y} = \vec{b}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解くために、一方の変数を消去します。

最初の式に2をかけ、2番目の式に4をかけます。

$2 * (4\vec{x} - 3\vec{y}) = 2 * \vec{a}$

$4 * (-2\vec{x} + 5\vec{y}) = 4 * \vec{b}$

これにより、以下の式が得られます。

$8\vec{x} - 6\vec{y} = 2\vec{a}$

$-8\vec{x} + 20\vec{y} = 4\vec{b}$

2つの式を足し合わせると、$x$が消去されます。

$(8\vec{x} - 6\vec{y}) + (-8\vec{x} + 20\vec{y}) = 2\vec{a} + 4\vec{b}$

$14\vec{y} = 2\vec{a} + 4\vec{b}$

$y$ベクトルについて解くと、

$\vec{y} = \frac{1}{14}(2\vec{a} + 4\vec{b})$

$\vec{y} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$

次に、$x$ベクトルを求めます。

最初の式 $4\vec{x} - 3\vec{y} = \vec{a}$ に、求めた$\vec{y}$を代入します。

$4\vec{x} - 3(\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}) = \vec{a}$

$4\vec{x} = \vec{a} + \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b}$

$4\vec{x} = \frac{10}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b}$

$x$ベクトルについて解くと、

$\vec{x} = \frac{1}{4}(\frac{10}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b})$

$\vec{x} = \frac{5}{14}\vec{a} + \frac{3}{14}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = \frac{5}{14}\vec{a} + \frac{3}{14}\vec{b}$

$\vec{y} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$