与えられた4つの二次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ (2) $y = 2x^2 + 8x + 3$ (3) $y = -3x^2 + 6x + 1$ (4) $y = -x^2 - 3x$

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

(2) $y = 2x^2 + 8x + 3$

(3) $y = -3x^2 + 6x + 1$

(4) $y = -x^2 - 3x$

2. 解き方の手順

二次関数を平方完成の形に変形し、頂点を求めます。平方完成された式は $y = a(x-p)^2 + q$ の形になり、頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

$y = (x^2 - 4x) + 3$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3$

$y = (x - 2)^2 - 1$

頂点は $(2, -1)$、軸は $x = 2$

(2) $y = 2x^2 + 8x + 3$

$y = 2(x^2 + 4x) + 3$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 2(4) + 3$

$y = 2(x + 2)^2 - 8 + 3$

$y = 2(x + 2)^2 - 5$

頂点は $(-2, -5)$、軸は $x = -2$

(3) $y = -3x^2 + 6x + 1$

$y = -3(x^2 - 2x) + 1$

$y = -3(x^2 - 2x + 1) - (-3)(1) + 1$

$y = -3(x - 1)^2 + 3 + 1$

$y = -3(x - 1)^2 + 4$

頂点は $(1, 4)$、軸は $x = 1$

(4) $y = -x^2 - 3x$

$y = -(x^2 + 3x)$

$y = -(x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2) + (\frac{3}{2})^2$

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$

頂点は $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$、軸は $x = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(2, -1)$、軸: $x = 2$

(2) 頂点: $(-2, -5)$、軸: $x = -2$

(3) 頂点: $(1, 4)$、軸: $x = 1$

(4) 頂点: $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$、軸: $x = -\frac{3}{2}$