与えられた不等式 $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$4^x$ を $2^x$ の形で表し、$2^{x+1}$ を $2 \cdot 2^x$ のように変形します。すると、不等式は次のようになります。

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 3 < 0$

ここで、$2^x = t$ とおくと、不等式は

$t^2 + 2t - 3 < 0$

となります。

この二次不等式を解くために、まず二次方程式 $t^2 + 2t - 3 = 0$ を解きます。

$(t+3)(t-1) = 0$

より、$t = -3, 1$ です。

したがって、$t^2 + 2t - 3 < 0$ の解は $-3 < t < 1$ となります。

ここで、$t = 2^x$ であったことを思い出すと、$-3 < 2^x < 1$ となります。

$2^x$ は常に正の値をとるため、$-3 < 2^x$ は常に成り立ちます。

したがって、$2^x < 1$ を解けば良いことになります。

$2^x < 1$ は $2^x < 2^0$ と書き換えられます。

$x < 0$

3. 最終的な答え

$x < 0$