与えられたベクトルの式を簡単にせよという問題です。具体的には、以下の10個の式をそれぞれ計算します。 (1) $\vec{a}+2\vec{a}$ (2) $\vec{b}-3\vec{b}$ (3) $\vec{a}-(3\vec{a}+\vec{b})$ (4) $\vec{b}-2(\vec{a}-\vec{b})$ (5) $2(\vec{a}+3\vec{b})+3(2\vec{a}+\vec{b})$ (6) $3(\vec{a}+2\vec{b})-2(2\vec{a}-\vec{b})$ (7) $2(\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}-2\vec{b})$ (8) $2(3\vec{a}-\vec{b})-3(2\vec{a}-\vec{b})-\vec{b}$ (9) $3(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})+2(\vec{a}-2\vec{b}-\vec{c})$ (10) $2(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})-(\vec{a}-2\vec{b}-3\vec{c})$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの式を簡単にせよという問題です。具体的には、以下の10個の式をそれぞれ計算します。

(1) $\vec{a}+2\vec{a}$

(2) $\vec{b}-3\vec{b}$

(3) $\vec{a}-(3\vec{a}+\vec{b})$

(4) $\vec{b}-2(\vec{a}-\vec{b})$

(5) $2(\vec{a}+3\vec{b})+3(2\vec{a}+\vec{b})$

(6) $3(\vec{a}+2\vec{b})-2(2\vec{a}-\vec{b})$

(7) $2(\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}-2\vec{b})$

(8) $2(3\vec{a}-\vec{b})-3(2\vec{a}-\vec{b})-\vec{b}$

(9) $3(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})+2(\vec{a}-2\vec{b}-\vec{c})$

(10) $2(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})-(\vec{a}-2\vec{b}-3\vec{c})$

2. 解き方の手順

ベクトルのスカラー倍、足し算、引き算の性質を用いて式を整理します。

分配法則、結合法則などを利用し、同類項をまとめます。

(1) $\vec{a}+2\vec{a} = (1+2)\vec{a} = 3\vec{a}$

(2) $\vec{b}-3\vec{b} = (1-3)\vec{b} = -2\vec{b}$

(3) $\vec{a}-(3\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}-3\vec{a}-\vec{b} = (1-3)\vec{a}-\vec{b} = -2\vec{a}-\vec{b}$

(4) $\vec{b}-2(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{b}-2\vec{a}+2\vec{b} = -2\vec{a}+(1+2)\vec{b} = -2\vec{a}+3\vec{b}$

(5) $2(\vec{a}+3\vec{b})+3(2\vec{a}+\vec{b}) = 2\vec{a}+6\vec{b}+6\vec{a}+3\vec{b} = (2+6)\vec{a}+(6+3)\vec{b} = 8\vec{a}+9\vec{b}$

(6) $3(\vec{a}+2\vec{b})-2(2\vec{a}-\vec{b}) = 3\vec{a}+6\vec{b}-4\vec{a}+2\vec{b} = (3-4)\vec{a}+(6+2)\vec{b} = -\vec{a}+8\vec{b}$

(7) $2(\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}-2\vec{b}) = 2\vec{a}-2\vec{b}-\vec{a}+2\vec{b} = (2-1)\vec{a}+(-2+2)\vec{b} = \vec{a}$

(8) $2(3\vec{a}-\vec{b})-3(2\vec{a}-\vec{b})-\vec{b} = 6\vec{a}-2\vec{b}-6\vec{a}+3\vec{b}-\vec{b} = (6-6)\vec{a}+(-2+3-1)\vec{b} = 0\vec{a}+0\vec{b} = \vec{0}$

(9) $3(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})+2(\vec{a}-2\vec{b}-\vec{c}) = 3\vec{a}+3\vec{b}+6\vec{c}+2\vec{a}-4\vec{b}-2\vec{c} = (3+2)\vec{a}+(3-4)\vec{b}+(6-2)\vec{c} = 5\vec{a}-\vec{b}+4\vec{c}$

(10) $2(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})-(\vec{a}-2\vec{b}-3\vec{c}) = 2\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c}-\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c} = (2-1)\vec{a}+(2+2)\vec{b}+(-4+3)\vec{c} = \vec{a}+4\vec{b}-\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $3\vec{a}$

(2) $-2\vec{b}$

(3) $-2\vec{a}-\vec{b}$

(4) $-2\vec{a}+3\vec{b}$

(5) $8\vec{a}+9\vec{b}$

(6) $-\vec{a}+8\vec{b}$

(7) $\vec{a}$

(8) $\vec{0}$

(9) $5\vec{a}-\vec{b}+4\vec{c}$

(10) $\vec{a}+4\vec{b}-\vec{c}$