数列 $\{a_n\}$ は初項2、公比3の等比数列である。 (1) $b_n = (a_n)^2$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。 (2) $c_n = a_{n+1} - a_n$ とするとき、数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項2、公比3の等比数列である。

(1) $b_n = (a_n)^2$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。

(2) $c_n = a_{n+1} - a_n$ とするとき、数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ は初項2、公比3の等比数列なので、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ と表せる。

$b_n = (a_n)^2 = (2 \cdot 3^{n-1})^2 = 4 \cdot 9^{n-1}$ となる。

$b_{n+1} = (a_{n+1})^2 = (2 \cdot 3^n)^2 = 4 \cdot 9^n$ である。

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4 \cdot 9^n}{4 \cdot 9^{n-1}} = 9$ となり、$\frac{b_{n+1}}{b_n}$ が $n$ に依存しない定数であるため、数列 $\{b_n\}$ は等比数列である。

数列 $\{b_n\}$ の初項は $b_1 = (a_1)^2 = 2^2 = 4$、公比は9である。

(2) $c_n = a_{n+1} - a_n = 2 \cdot 3^n - 2 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} (3-1) = 4 \cdot 3^{n-1}$ となる。

$c_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1} - 2 \cdot 3^n = 2 \cdot 3^n (3-1) = 4 \cdot 3^n$ である。

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{4 \cdot 3^n}{4 \cdot 3^{n-1}} = 3$ となり、$\frac{c_{n+1}}{c_n}$ が $n$ に依存しない定数であるため、数列 $\{c_n\}$ は等比数列である。

数列 $\{c_n\}$ の初項は $c_1 = a_2 - a_1 = 2 \cdot 3 - 2 = 4$、公比は3である。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{b_n\}$ は等比数列であり、初項は4、公比は9である。

(2) 数列 $\{c_n\}$ は等比数列であり、初項は4、公比は3である。