方程式 $x^2 + y^2 + 2mx + m = 0$ が円を表すような、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + 2mx + m = 0$ が円を表すような、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を、円の方程式の標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形することで、円の中心 $(a, b)$ と半径 $r$ を求めます。

まず、$x^2 + y^2 + 2mx + m = 0$ を変形します。

$x$ の項を平方完成させます。

$(x^2 + 2mx) + y^2 + m = 0$

$(x + m)^2 - m^2 + y^2 + m = 0$

$(x + m)^2 + y^2 = m^2 - m$

これが円を表すためには、$m^2 - m > 0$ である必要があります。なぜなら、円の半径の二乗は正の数でなければならないからです。

$m^2 - m > 0$

$m(m - 1) > 0$

この不等式を解きます。

$m < 0$ または $m > 1$

3. 最終的な答え

$m < 0$ または $m > 1$