整式 $P(x)$ を $x^2 - 2x + 1$ で割った余りが $x-2$ であり、$2x^2 + 3x + 1$ で割った余りが $2x+3$ である。このとき、$P(x)$ を $2x^2 - x - 1$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x^2 - 2x + 1$ で割った余りが $x-2$ であり、$2x^2 + 3x + 1$ で割った余りが $2x+3$ である。このとき、$P(x)$ を $2x^2 - x - 1$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $x^2 - 2x + 1$ で割った余りが $x-2$ であることから、

$P(x) = (x^2 - 2x + 1)Q_1(x) + x - 2$

ここで、$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ であるから、

$P(x) = (x-1)^2Q_1(x) + x - 2$

$P(x)$ を $2x^2 + 3x + 1$ で割った余りが $2x+3$ であることから、

$P(x) = (2x^2 + 3x + 1)Q_2(x) + 2x + 3$

ここで、$2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)$ であるから、

$P(x) = (2x+1)(x+1)Q_2(x) + 2x + 3$

$P(x)$ を $2x^2 - x - 1$ で割った余りを $ax + b$ とすると、

$P(x) = (2x^2 - x - 1)Q_3(x) + ax + b$

ここで、$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$ であるから、

$P(x) = (2x+1)(x-1)Q_3(x) + ax + b$

$P(1) = (1-1)^2 Q_1(1) + 1 - 2 = -1$

$P(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) + 1)(-\frac{1}{2} + 1) Q_2(-\frac{1}{2}) + 2(-\frac{1}{2}) + 3 = 2$

$P(1) = (2(1)+1)(1-1) Q_3(1) + a(1) + b = a + b = -1$

$P(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-1) Q_3(-\frac{1}{2}) + a(-\frac{1}{2}) + b = -\frac{1}{2}a + b = 2$

連立方程式

$a + b = -1$

$-\frac{1}{2}a + b = 2$

を解く。

$a + b = -1$

$b = -1 - a$

$-\frac{1}{2}a + (-1 - a) = 2$

$-\frac{3}{2}a = 3$

$a = -2$

$b = -1 - (-2) = 1$

したがって、余りは $-2x + 1$

3. 最終的な答え

$-2x + 1$